Абелева группа

• Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
• Любая циклическая группа ${\displaystyle G=\langle a\rangle }$ . Действительно, для любых ${\displaystyle x=a^{n}}$  и ${\displaystyle y=a^{m}}$  верно, что

  ${\displaystyle xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx}$ .

  • В частности, целые числа ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  образуют коммутативную группу по сложению, также как и классы вычетов ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ .
• Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению. В том числе и вещественные числа с операцией сложения.
• Обратимые элементы коммутативного кольца, в частности, ненулевые элементы любого поля, образуют абелеву группу по умножению. Например, вещественные числа, не равные нулю, с операцией умножения.

• По аналогии с размерностью у векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он определяется как минимальная размерность пространства над полем рациональных чисел, в которое вкладывается фактор группы по её кручению.

• Конечнопорождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.
  • Конечные абелевы группы изоморфны прямым суммам конечных циклических групп.
• Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно, пусть ${\displaystyle n}$  — натуральное число, а ${\displaystyle x}$  — элемент коммутативной группы ${\displaystyle G}$  с операцией, обозначаемой +, тогда ${\displaystyle nx}$  можно определить как ${\displaystyle x+x+\ldots +x}$  (${\displaystyle n}$  раз) и ${\displaystyle (-n)x=-(nx)}$ .
  • Утверждения и теоремы, верные для абелевых групп (то есть модулей над кольцом главных идеалов ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ), зачастую могут быть обобщены на модули над произвольным кольцом главных идеалов. Типичным примером является классификация конечнопорожденных абелевых групп.
• Множество гомоморфизмов ${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,\;H)}$  всех групповых гомоморфизмов из ${\displaystyle G}$  в ${\displaystyle H}$  само является абелевой группой. Действительно, пусть ${\displaystyle f,\;g:G\to H}$  — два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма ${\displaystyle f+g}$ , заданная как ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ , тоже является гомоморфизмом (это неверно, если ${\displaystyle H}$  некоммутативная группа).

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}}$  изоморфно прямой сумме ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$  и ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$  тогда и только тогда, когда ${\displaystyle m}$  и ${\displaystyle n}$  взаимно просты.

Следовательно, можно записать абелеву группу ${\displaystyle G}$  в форме прямой суммы

${\displaystyle \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}}$ 

двумя различными способами:

• Где числа ${\displaystyle k_{1},\;\ldots ,\;k_{u}}$  степени простых
• Где ${\displaystyle k_{1}}$  делит ${\displaystyle k_{2}}$ , которое делит ${\displaystyle k_{3}}$ , и так далее до ${\displaystyle k_{u}}$ .

Например, ${\displaystyle \mathbb {Z} /15\mathbb {Z} =\mathbb {Z} _{15}}$  может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: ${\displaystyle \mathbb {Z} /15\mathbb {Z} =\{0,\;5,\;10\}\oplus \{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}}$ . То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать, приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.

• Дифференциальной группой называется абелева группа ${\displaystyle \mathbf {C} }$ , в которой задан такой эндоморфизм ${\displaystyle d\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$ , что ${\displaystyle d^{2}=0}$ . Этот эндоморфизм называется дифференциалом. Элементы дифференциальных групп называются цепями, элементы ядра ${\displaystyle \ker \,d}$  — циклами, элементы образа ${\displaystyle \mathrm {Im} \,d}$  — границами.

• Алгебраическая система

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.